Král nařídil svému statistickému úřadu, aby z historických sčítání stavů ovcí odhadli budoucí dopad dračího řádění na populaci dobytka napříč královstvím. Statistici se tedy chopili všech dostupných dat a v prastarém programovacím jazyce R se pustili do analýzy. Již zpočátku zjistili, že drak povětšinou nemá takový hlad a stačí mu jen pár ovcí. Jednou za čas (asi po  jarní očistě střev) však začne drak řádit a  zhltne ovcí šílené množství. Distribuce počtu požraných ovcí vypadá jako na grafu níže – na vodorovné ose je počet sežraných ovcí a na svislé počet takových incidentů.

Statistikům se taková distribuce vůbec nelíbila, a tak ji pojmenovali po drakovi – “fat-tailed distribution” neboli  rozdělení s těžkým chvostem. Se jménem přišla i formulka

která říká, že pravděpodobnost ovcicidy rozsahu většího než x je úměrná číslu 1/x^a Pokud je tedy například a=2, je alespoň třikrát větší hostina devětkrát méně pravděpodobná a tak dále.

Po těchto přelomových zjištěních (za které si předseda vše-kamenné statistické společnosti jistě vyslouží profesůru) se král zeptal: “Kolik teda můžu očekávat, že nám drak příště sežere ovcí?”. Statistici na tuto učebnicovou otázku odpověděli velmi pohotově aritmetickým průměrem rozdělení (kterému se anglicky ne nadarmo říká expectation): “Pane králi, střední (a tedy očekávaný) počet sežraných ovcí je 967,2.”. Král byl sice zarmoucen, ale aspoň věděl, co čekat při příštím dračím  řádění.

O několik měsíců později drak skutečně přiletěl, navštívil všechny župy království a ve většině (na 90 procentech království) sežral pouze 50 ovcí nebo méně. Ve třech župách ovšem sežral ovcí tisíce a ve Štěrkové Lhotě rozkousal i chlév. Král byl naštvaný, protože ani v jedné župě se rozsah dračího řádění neblížil statistiky předpovězené hodnotě. Král  se opakovaně do médií vyjádřil, že než tohle, bude raději zemi řídit podle power-pointových presentací od homeopatů. Všechny členy vše-kamenné statistické společnosti nechal vsadit do vězení a předsedu navíc degradoval na ubohého odborného asistenta.

Týden na to povolal nový tým výzkumníků. Ti však byli  tak vystrašeni strašlivým osudem svých předchůdců, že  králi odmítli sdělit jednočíselný (bodový) odhad budoucích ovčích obětí. Místo toho mu řekli, že v 90 procentech království drak zhltne 5 až 50 ovcí, ale že je 90 procentní pravděpodobnost, že alespoň ve dvou župách to bude víc než pět tisíc ovcí. Když opět za několik měsíců přiletěl drak, předpověď se potvrdila.

A tak se před dávnými dobami v dalekém Kamenistánu zrodila oblast pravděpodobnostního forecastingu. Bodové odhady nejsou ani na draka.

Jakub Dostál, Tomáš Fürst a Halina Šimková 28. 8. 2020

The post O DRAKOVI S TĚŽKÝM CHVOSTEM appeared first on Abradatas s.r.o..

Já, mladý matematik jen zdravě zasažen akademickým světem, mám naopak možnost rozpomenout se na moji několik let starou zálibu v modelování šíření epidemií a zamyslet se nad koronavirovou nákazou z jiného úhlu.

Jak se modeluje šíření epidemií?

Zálibou aplikovaných matematiků je komprese košatých projevů světa do co nejkompaktnějšího zápisů. Cílem přitom není zaznamenat každou odchylku, ale pro danou aplikaci zachytit klíčové prvky. (Např. pro let na měsíc stačí Newtonova rovnice F=ma. Detailnější práce Einsteina není třeba.)

Takové matematické modely využívají i epidemiologové. Jedním z nich — který dle některých [Wu et. al, Kucharski et. al] dobře popisuje aktuální šíření koronaviru — je tzv. SEIR model. Ten využívá zjednodušeného rozdělení společnosti na čtyři skupiny podle anglického Susceptible, Exposed, Infected, Removed. Do češtiny obtížně přeloženo jako:

• (S) náchylný k onemocnění,
• (E) nakažen ale neinfekční,
• (I) infekční,
• (R) odstraněn — například v karanténě, zesnulý nebo imunní.

Naprostá většina jedinců se na počátku epidemie nachází ve skupině S a má nenulovou pravděpodobnost se v průběhu času posunout postupně do E. Od E je již pouze otázka času pro přesun do I a následně do R. (Existují i jiné modely vhodné pro jiné onemocnění a jiné časové horizonty. Čtenář si sám představí SIR, SIS, SIRS, SEIRS apod.)

Pro samotné modelování je třeba počítat soustavu diferenciálních rovnic, kterou (pro bezpečnost publika) nebudu uvádět. Klíčové však je, že jedním z elementů rovnic je věhlasný parametr R0. Ten říká, kolik v průměru připadá nově nakažených osob na jednoho infekčního jedince.

Tato skupina tzv. compartmental models (krabičkové modely?) je tu s námi již nějakou dobu a má své mouchy. Aktuálně se pole modelování šíření epidemií pohybuje směrem k modelům na komplexních sítích, které lépe reprezentují škálovatelnou/fraktální strukturu lidské společnosti. Dovolují tak například práci se super-spreaders, velmi propojenými lidmi, kteří jsou při šíření nemoci extrémně “úspěšní”. Takové třídy modelů umožňují sledovat dopad cílené karantény a imunizace s menším vlivem na ekonomiku. Říkají, jak co nejlépe rozpojit síť lidských kontaktů, pro co nejefektivnější likvidaci epidemie s nejmenším dopadem na populaci.

Předpokládám, že při modelování koronaviru jsou pro účely vlád a krizových orgánů využívány modely podobné SEIR modelu. Proto následující odstavce věnuji jim.

Je karanténa k něčemu?

Předpokládejme chvíli pro jednoduchost, že se koronavirus šíří právě podle scénáře SEIR. (To není až tak přehnaný předpoklad.) Pro zábavu čtenáře trpící nudou při dlouhých dnech karantény jsem připravil interaktivní kalkulačku epidemií epidemie.abradatas.cz, kde může nastavit řadu parametrů a dívat se na dopad na společnost.

Odhadování parametrů šíření z aktuálních statistik je úloha nadmíru náročná. Výzkumníci se přesto snaží interpretovat to málo nepřesných informací a nějaké odhady nám poskytnout. Ústav zdravotnických informací a statistiky (ÚZIS) (pod MZČR) zveřejnil 24. března několik odhadů (bez informace o nejistotě) [link1, link2]:

1. R0 před intervencí bylo 2.64.
2. R0 po intervenci 16. března je 1.2.
3. Přibližně 10 % případů vyžaduje hospitalizaci. (Toto číslo je však pravděpodobně zkreslené nahoru velkým počtem nakažených, kteří nejsou nikdy detekováni.)

Podívejme se nyní na tři scénáře: A) nedojde k žádné intervenci a R0 zůstala 2.64; B) došlo k aktuální karanténě a R0 je 1.2; C) došlo k silné karanténě a nové R0 je 0.95 (číslo podobné Jižní Koreji). Ostatní parametry zanechme fixní na hodnotách odpovídajícím odhadům z ČR.

Můj selský rozum mi napovídá, že dobrými ukazateli úspěšnosti boje s epidemií je i) počet úmrtí; ii) denní maximum počtu hospitalizovaných, tedy nápor na nemocniční zařízení; a iii) délka trvání epidemie, tedy nápor na ekonomiku. (Model pro jednoduchost neuvažuje existující závislost úmrtnosti na vytížení nemocnic.)

A) V případě nulové karantény a konstantní R0=2.64 odhaduje SEIR model:

1. 190 tis. úmrtí po jednom roce,
2. maximum počtu hospitalizovaných v jednu chvíli téměř 600 tis.,
3. již po 140 dnech klesá denní počet nakažených pod 10.

B) V případě aktuálně odhadovaného snížení R0 na 1.2:

1. 69 tis. úmrtí po jednom roce,
2. maximum počtu hospitalizovaných v jednu chvíli 77 tis.,
3. po 1 roce stále přibývá přibližně 760 nakažených za den.

C) V případě drastických opatření, které by snížily R0 na 0.95 (Jižní Korea):

1. 1500 úmrtí po jednom roce,
2. maximálně 1400 pacientů hospitalizovaných v jednu chvíli,
3. 40 nákaz denně po jednom roce.

Na první pohled je jasné, že optimální scénář je snížit R0 co nejvíce, třeba podle scénáře (C). Taková varianta má relativně malé množství obětí, výměnou za delší průběh. Dosáhnout jí však nemusí být možné.

Horká hlava by mohla radit jednat dle scénáře (A) — “budeme to mít rychle za sebou”. Takový přístup však naprosto opomíná obrovské ztráty na životech: více než 100x vyšší než u varianty (C) a o 130 tis. více než u varianty (B).

Scénář (B) je naprosto reálný (aktuálně probíhající v ČR) a zajišťuje výrazné zlepšení oproti nicnedělání.

Závěr

Ano, karanténa je užitečná.

Prosím, mějme na paměti, že tato čísla nejsou predikce budoucího vývoje. Jedná se o hru s parametry zjednodušeného modelu šíření epidemie. Text slouží k utvoření představy o šíření epidemie a dopadech karanténních a jiných opatření. Čtenáře zvu k vlastnímu pokusu namodelovat aktuální situaci na epidemie.abradatas.cz.

Jakub Dostál 26. 3. 2020

The post KORONAVIRUS V ČESKÉ REPUBLICE – MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ appeared first on Abradatas s.r.o..